完全数（Perfect number），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。如果一个数恰好等于它的真因子之和，则称该数为“完全数”。第一个完全数是6，第二个完全数是28，第三个完全数是496，后面的完全数还有8128、33550336等等。
公元前3世纪，古希腊人在对正整数进行 因数 分解时，发现有的数的所有因数（包括1和其自身）之和等于自身的2倍，即为完全数。 在近代，1644年，法国数学家梅森（M.Mersenne）提出了著名的梅森猜想，欧拉、卢卡斯等人为猜想真伪的辨明做出了贡献。进入20世纪，电子计算机的出现，为完全数的寻找提供了便利。对于奇完全数是否存在，布伦特（R．Brent）等人给出了相关结论与证明。
完全数具有一些神奇的性质，如每一个偶完全数都可以写成连续 自然数 之和。 与完全数相关的定理为欧几里得定理以及欧拉定理，它们为完全数的计算提供了理论基础。 将完全数概念进行推广，可得到 多重完全数 ，以及在某一 特殊函数 下定义的完全数。 在东西方文化中，完全数一直是祥瑞的象征，象征着吉祥如意，美满幸福。
定义
完全数（完美数）指的是一个数的所有因子（不包括自身）之和等于这个数本身。设 表示正整数 的所有 因数 之和，则 是一个完全数等价于 。
简史
古代
完全数概念的提出可追溯至古希腊时期。公元前3世纪，古希腊人在对正整数进行因数分解时，发现有的数的所有因数（包括1和其自身）之和等于自身的2倍，他们称之为完全数。 公元前300年左右， 欧几里得 在其《 几何原本 》卷九最后给出了寻找完全数的命题，即为欧几里得定理。公元1世纪左右， 古希腊 数学家 尼科马霍斯 （Nichomachus）在《 算术入门 》中复述了以上4个完全数和欧几里得定理。
近代
到了近代，关于完全数的研究，许多著名的猜想和 定理 被提出。1460年，一位无名氏的手稿，给出了第5个完全数33550336。16世纪 意大利 数学家 塔塔利亚 （N.Tartaglia）指出，当p=2或3~39间的 奇数 时，2 p-1 （2 p -1）是“完全数”，共有20个。17世纪“神 数术 "大师庞格斯（Pangos）在《数的玄学》中，在塔塔利亚的基础上，列出了28个“完全数”。 1603年，意大利数学家卡塔尔迪（ P.A. Cataldi）证明了无名氏找出的那第5个完全数符合欧氏定理。同时，他证明了第6个和第7个完全数分别是2 16 （2 17 -1）和2 18 （2 19 -1）；但他也给出了一些错误的结论。直到1640年， 法国 大数学家 皮耶·德·费玛 使用著名的 费马小定理 证明了卡塔尔迪关于p=23的结果是错误的。 1644年，法国数学家梅森（M.Mersenne）指出：庞格斯给出的28个“完全数”中只有8个是正确的。即当p取2，3，5，7，13，17，19，31时，2 p-1 （2 p -1）是完全数。同时，他另给出第9，10，11个完全数，即p取67，127，257时。梅森在没有证明的情况下断言：当p≤257时，就只有这11个完全数。这就是历史上著名的“梅森猜测”，而形如2 p -1的数被称为“梅森数”，其中的素数称为“梅森素数”。
18、19世纪，大量数学家参与到梅森猜想的研究中。1730年， 瑞士 数学家证明了一个重要 定理 ：“每一个偶完全数都是形如2 p-1 （2 p -1）的 自然数 ，其中p与2 p -1都为素数”。1772年， 莱昂哈德·欧拉 在双目失明的情况下，仍在顽强地研究完全数。他写信给瑞士数学家 雅各布·伯努利 （Bernoulli）说，他用 试除法 已靠心算证明，当p=31时，2 30 （2 31 -1）是第8个完全数。同时，他还纠正了自己指出p取41、47是完全数的错误。 1876年， 法国 数学家卢卡斯（F.Lucas）提出了一个用来判别素性的重要定理—卢卡斯定理。借助卢卡斯定理，数学家们发现，“梅森猜测”中p取67和257可得到的完全数的说法是错误的，且在p≤257范围内，梅森漏掉了p取61，89，107时的三个完全数。这样一来，“梅森猜测"应修正为：p≤257时，当p取2，3，5，7，13，17，19，31，61，89，107，127时，2 p-1 （2 p -1）是完全数，共12个。
现代
电子 计算机 的出现，大大加快了完全数的寻觅步伐。人们自开始利用计算机寻觅完全数至今，又发现了34个完全数，其间历时64年。截至2018年，相关研究者已经找到51个完全数。截至2024年10月，全球已发现52个梅森素数。 在1922年，数学家克莱契克（M.Kraitchik）运用 抽屉原理 验证了2 257 -1并不是素数，而是 合数 ，只是当时他并没有给出这一合数的素因子，故2 256 （2 257 -1）并非完全数。
19世纪中后期，偶完全数的结论已较为成熟，而对于即完全数的探讨在数学界仍占据较重要的地位。数学家奥尔(O.Ore）用 计算机 检查过10 8 以下的 自然数 ，没有发现一个奇完全数。1973年，有人证明奇完全数必须大于10 50 ；1975年，哈吉斯（P.Hagis）和迈克 丹尼尔 （W.L.McDaniel）证明奇完全数的最大素因子一定大于100110；后来，布兰斯坦（M.Brandstein）指出：若奇完全数存在，它的最大素因子大于5×10 5 。1976年，塔克曼（B.Tuckerman）研究后宣布，若奇完全数存在，它必须大于10 36 。1979年，哈吉斯等人证明，奇完全数如果存在，则其异素因子的个数大于等于8。尼尔森（P.P.Nilsen）进一步改进了奇完全数相异素因子的个数，他证明若n为奇完全数，则其相异素因子个数大于等于9，且他进一步得到当3不整除n时，n的相异素因子个数大于等于12。 1981年，哈吉斯再次指出，若奇完全数存在，它的第二大素因子大于10 3 ；1989年，布伦特（R.Brent）等指出：若奇完全数存在，则必大于10 160 ；1991年，布伦特等人又将此下界推进至10^300。而利普（W.Lipp）将之改进为大于10 500 ；1999年，还有人指出奇完全数的更大下界，但塞达克（F.Saidak）发现证明中的错误，并将错误告诉了证明者。
举例
性质
关于完全数
（1）完全数的全部 因数 的 倒数 之和都是 ，因此每个完全数都是欧尔调和数（Ore"sHarmonic Number）。如
（2）完全数的 二进制 表达式：
。
关于偶完全数
（1）偶完全数都是以 或 结尾。如果以 结尾，那么就肯定是以 结尾。（科学家仍未发现由其他数字结尾的完全数。）
（2）除 以外的偶完全数，把它的各位数字相加，直到变成一位数，那么这个一位数一定是 。亦即：除 以外的偶完全数，被 除都余 。如：
（3）所有的偶完全数都可以表达为 的一些连续正整数次幂之和，从 到 。如：
；
；
；
。
（4）每一个偶完全数都可以写成连续 自然数 之和：
；
；
。
（5）除 以外的偶完全数，还可以表示成连续 奇数 的立方和：
；
；
；
。
关于奇完全数
（1） 级数 (此处 经过所有的 且下界为 的奇完全数）。
（2）设 是具有 个相异素因子的奇亏完全数，则 或者 。且若 ，有 ；若 ，有 。
相关定理
欧几里得定理
定理： 若 为素数（即梅森素数），则 是完全数。
证： 设 ，由于 是素数，所以 。注意到 ，
有： 。
故 是完全数。
欧拉定理
定理： 若 是一个偶完全数，则 ，这里 为某素数，且 也是素数。
证： 设 的标准分解式中含 的最高方幂的次数为 ，因 为偶数，故 。又因 显然不是偶完全数，所以
。
由 ，可得
易知 ， 和 都是 的正 因数 ，但 是 的所有正因数之和，故 只有两个正因数，即 为素数，且 ，因此 为素数。此时 必须是素数，记为 。证毕。
计算
公式法
公元前3世纪， 古希腊 著名数学家 欧几里得 发现了一个计算完全数的公式：如果n是质数，且 也是一个质数，那么，由公式 算出的数一定是一个完全数。
例如，当 时， 是一个质数，于是 是一个完全数；当 时， 是一个完全数；当 时， 也是一个完全数。
电子计算机法
可定义一个布尔型函数perfect（x），若x是完全数，其值为ture，否则为false。计算完全数的函数定义如下：
function perfect（x：integer）：boolean；
var
k，sum：integer；
begin //累加x所有小于本身的 因数
sum：=1；
for k：=2 to x div 2 do
if x mod k=0 then sum：=sum+k； //判断x是否是完全数
perfect：=x=sum； //将结果赋值給函数名
end；
自定义函数只是主程序的说明部分，若主程序中没有调用函数，则系统不会执行函数 子程序 。当主程序调用 一次函数 时，则将实际参数的值传给函数的形式参数，控制转向函数子程序去执行，子程序执行完毕自动返回调用处。
相关概念
梅森数
具有 形式的数为梅森数（Marin Mersenne），其中 为素数。如果梅森数是素数，则称为梅森素数。梅森数可能是素数，也可能是 合数 ，例如： 都是素数，而 是合数。
上述欧几里得定理利用梅森素数计算偶完全数的方法。此外，所有的偶完全数都是形如 的数，这里 是 质数 。由此推出，有几个梅森数质数，就有几个偶完全数 。
亲和数
亲和数指的是两个数中，一个数的全部 因数 （本身除外）之和与另一个数 相等 。例如，数字220和284就是亲和数。
完全数和亲和数被许多数字性的臆测所包围。例如，Saint Augustine认为 雅威 在六天内创造了天和地，因为6是一个完全数，从而会预示该工作的完美性。亲和数常常和两个人的亲密友谊相联系。1007年，在 马德里 这些数曾被建议可以当作一贴爱情之药来使用：将较小的数送给你所爱的对象而你自己吃较大的数（例如220粒与284粒米）。此外，在许多未解决的问题方面，完全数和亲和数是类似的。
推广
多重完全数
在 自然数 中，还存在大量满足“一个数的k倍等于它的全部 因数 （包括1和其自身）的和，其中k为不小于3的整数”这样的整数，称之为k重完全数。现已发现的多重完全数包括，3重完全数（6个）、4重完全数（20个）、5重完全数（13个）、6重完全数（1个）。
特殊完全数
设 是全体正整数的集合，对于正整数 ，设 。
如此的 称为 的Smarandache函数。设 是正整数，如果 的不同 因数 之和等于 ，则称 是完全数。Ashbacher将完全数的概念推广到了Smarandache函数范围，将满足 的正整数 称为Smarandache完全数。对此，他证明了：当 时，仅有Smarandache完全数编辑器。
应用
计算机
整数通常是 程序设计 语言的一种基础形态，例如Java及C 编程语言 的int类型。整数问题是实际应用中经常要解决的问题。整型数据根据其所占 内存 大小可分为基本整型（int）、长整型（longint）、短整型（short int），根据数据满足的某些性质又可将其分为完全数、水仙花数和亲密数等完全数作为 计算机 Python 语言的一种基础工具，可以解决各种整数问题，简化计算过程。
相关文化
完全数是被古人视为瑞祥的数。6这个数人人都喜欢，它代表吉祥如意。神话上说至高无上的宇宙之神在六天之内创造万物，第七天休息，从此有一周七天、星期日休息的作休制。 意大利 把6看成是属于 爱神维纳斯 的数，以象征美满的婚姻及健康和美丽。 中国 古代哲人那时大概还不知道6是个完全数，但他们却总是把6作为一个周期完成的标志，像《 周易 》就是以 六爻 成卦的。