《数书九章》，中国古代数学著作，由 南宋 数学家 秦九韶 所著。书中共列算题81问，分为9类。全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类。题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献。该书在数学内容上颇多创新，是对《 九章算术 》的继承和发展。它概括了宋元时期数学的主要成就，标志着中国古代数学的高峰。
内容简介
中国 南宋数学家秦九韶撰。秦九韶早年曾在 杭州市 学习，后又从隐君子学习数学，成年后先后在湖北、 安徽 、 江苏省 等地做官。1244年因母亡故回家守孝，潜心数学研究，于1247年9月著成《数术大略》，明代后期改名为《数书九章》。这是 秦九韶 唯一的数学著作，但仅此就使他成为中国宋元时期杰出的数学家之一。
《数书九章》最初叫《数术大略》或《数学大略》（9卷)，分为9类，每类为一卷。约到元代时更名为《 数学九章 》，内容也由9卷改为18卷。明初抄本被收入《 永乐大典 》（1408），另抄本藏于文渊阁。明代学者 王应遴 传抄时定名为《数书九章》，明末学者 赵开美 再抄时沿用此名。抄本形式流传到 清代 ，1781年由 李锐 校订后收入《 四库全书 》。1842年由宋景昌校订后收入《宜稼堂丛书》第一次印刷出版，结束了近600年的传抄历史。1898年收入《古今算学丛书》，为第二次印刷。1936年又分别被收入《 丛书集成初编 》和《 国学基本丛书 》出版，流传甚广。目前还有十几种抄本传世，成为学者研讨时的珍品。
《数书九章》共列算题81问，分为9类，每类9个问题。主要内容如下：
⑴大衍类：一次同余式组解法。⑵天时类：历法计算、降水量。⑶田域类：土地面 积。⑷测望类：勾股、重差。⑸赋役类：均输、税收。⑹钱谷类：粮谷转运、仓窖容积。⑺营建类：建筑、施工。⑻军族类：营盘布置、军需供应。⑼市物类：交易、利息。
作品影响
全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类。题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献。
《数书九章》在数学内容上颇多创新。 中国 算筹 式记数法及其演算式在此得以完整保存； 自然数 、分数、 小数 、 负数 都有专条论述，还第一次用小数表示无理根的近似值；卷1大衍类中灵活运用 最大公约数 和 最小公倍数 ，并首创连环求等，借以求几个数的最小公倍数；在《 孙子算经 》中“物不知数”问题的基础上总结成大衍求一术，使一次同余式组的解法规格化、程序化，比西方 高斯 创用的同类方法早500多年，被公认为“ 中国剩余定理 ”；卷17市物类给出完整的 方程 术演算实录，书中还继贾宪增乘开方法进而作正负开方术，使之可以对任意次方程的有理根或无理根来求解，比19世纪英国霍纳的同类方法早500多年；书中卷5田域类所列 三斜晶系 求积公式与公元1世纪 希腊 海伦 给出的公式殊途同归；卷7、卷8测望类又使《 海岛算经 》中的测望之术发扬光大，再添光彩。
作品评价
《数书九章》是对《 九章算术 》的继承和发展，概括了宋元时期中国传统数学的主要成就，标志着中国古代数学的高峰。当它还是抄本时就先后被收入《 永乐大典 》和《 四库全书 》。1842年第一次印刷后即在中国民间广泛流传。 秦九韶 所创造的正负开方术和大衍求一术长期以来影响着 中国 数学的研究方向。 焦循 、 李锐 、 张敦仁 、 骆腾凤 、时曰醇、 黄宗宪 等数学家的著述都是在《数书九章》的直接或间接影响下完成的。秦九韶的成就也代表了 中世纪 世界数学发展的主流与最高水平，在世界数学史上占有崇高的地位。
创作背景
（2005-7-13) 查有梁
秦九韶为《数书九章》写的“序”，是一篇数学与语文高水平整合的杰作。如果我们要编一本《中华科技古文观止》，那么，《数书九章·序》是必选的名著。我们要理解《数书九章》，不可不认真研读 秦九韶 自己为此书写的原序。只有认真研读了《数书九章·序》，才能从整体上把握秦九韶的数学观及其 方法论 。
这里先展出《数书九章·序》的全部原文，读者首先从原序中品味秦九韶的文采，再领会其中深 的哲理。可能有些句子人们不甚了解，这也没有关系。多读几遍，其义自见。《数书九章·序》的前半部是“文”，后半部是“诗”。我同样先按文的形式，后照诗的形式，意译这篇杰作，也许有助于读者理解 秦九韶 的原序。我的译文，只是尝试，仅供参考。奇文共欣赏，疑义相与析。
周教六艺，数实成之。学士大夫，所从来尚矣。其用本 太虚 生一，而周流无穷，大则可以通神明，顺性命；小则可以经世务，类万物， 容以浅近窥哉?若昔推策以迎日，定律而知气。 矩浚川，土圭度 。天地之大， 焉而不能外，况其间总总者乎？爰自河图、洛书， 发礻必奥， 八卦 、九畴，错综精微；极而至于大衍、皇极之用。而人事之变无不该，鬼神之情莫能隐矣。圣人神之，言而遗其粗；常人昧之，由而莫之觉。要其归，则数与道非二本也。汉去古未远，有 张苍 、 许商 、乘马延年、 耿寿昌 、郑〔元〕、 张衡 、刘洪之伦，或明天道，而法传于后；或计功策，而效验于时。后世学者自高，鄙不之讲，此学 绝，惟治历畴人，能为乘除，而弗通于开方衍变。若官府会事，则府史一二系之。算家位置，素所不识，上之人亦委而听焉。持算者惟若人，则鄙之也宜矣。呜呼！乐有制氏，仅记铿锵，而谓与天地同和者止于是，可乎？今 数术 之书，尚三十余家。 天象 历度，谓之缀术；太乙、壬、甲，谓之三式，皆曰内算，言其秘也。九章所载，即周官 九数 ，系于方圆者为蚩术，皆曰外算，对内而言也。其用相通，不可岐二。独大衍法不载九章，未有能推之者，历家演法颇用之，以为 方程 者误也。且天下之事多矣，古之人先事而计，计定而行。仰观俯察，人谋鬼谋，无所不用其谨，是以不 于成，载籍章章可覆也。后世兴事造始，鲜能考度，浸浸乎天纪人事肴 缺矣。可不求其故哉?九韶愚陋，不闲于艺。然早岁侍亲中都，因得访习于 太史姓 ，又尝从隐君子受数学。际时狄患，历岁遥塞，不自意全于矢石间。尝险罹忧，荏苒十祀，心槁气落，信知夫物莫不有数也。乃肆意其间，旁诹方能，探索杳渺，粗若有得焉。所谓通神明，顺性命，固肤末于见；若其小者，窃尝设为问答，以拟于用。积多而惜其弃，因取八十一题，厘为九类，立术具草，间以图发之。恐或可备博学多识君子之余观， 曲艺 可遂也。原进之于道，倘曰，艺成而下，是惟畴人府史流也，乌足尽天下之用，亦无瞢焉。
诗九首
一
昆仑磅礴， 道本 虚一。
圣有大衍，微寓于易。
奇余取策，群数皆捐。
衍而究之，探隐知原。
数术 之传，以实为体。
其书九章，惟兹弗纪。
历家虽用，用而不知。
小试经世，姑推所为。
述大衍第一。
二
七精四穹，人事之纪。
追缀而求，宵星昼晷。
历久则疏，性智能革。
不寻天道，模袭何益。
三农务穑，厥施自天。
以滋以生，雨膏雪零。
司牧闵焉，尺寸验之。
积以器移，忧喜皆非。
述天时第二。
三
魁隗粒民，甄度四海。
苍姬井之， 仁政 在。
代远庶蕃，垦菑日广。
步度 赋，版图是掌。
方圆异状，斜 殊形。
蚩术精微，孰究厥真。
差之毫厘，谬乃千百。
公私共弊，盖谨其籍。
述田域第三。
四
莫高匪山，莫浚匪川。
大禹 奠之，积矩攸传。
智创巧述，重差夕桀。
求之既详， 之罔越。
崇深广远，度则靡容。
形格势禁，寇垒仇 。
欲知其数，先望以表。
因差施术，坐悉微渺。
述测望第四。
五
邦国之赋，以待百事。
田亥田经入，取之有度。
未免力役，先商厥功。
以衰以率，劳逸乃同。
汉犹近古，税租以算。
调均 钱谷 ，河菑之 。
惟仁隐民，犹已溺饥。
赋役不均，宁得勿思。
述赋役第五。
六
物等敛赋，式时府庾。
粒粟寸丝，褐夫红女。
商征边籴，后世多端。
吏缘为欺，上下俱殚。
我闻理财，如智治水。
澄源浚流，维其深矣。
彼昧弗察，惨急烦刑。
去理益远，吁嗟不仁。
述 钱谷 第六。
七
斯城斯池，乃栋乃宇。
宅生寄命，以保以聚。
鸿功雉制，竹个木章。
匪究匪度，财 力伤。
围蔡而栽，如子西素。
匠计灵台，俾 文言文 惧。
惟武图功，惟俭昭德。
有国有家，兹焉取则。
述营建第七。
八
天生五材，兵去未可。
不教而战，维上之过。
堂堂之阵，鹅鹳为行。
营应规矩，其将莫当。
师中之吉，惟智仁勇。
夜算军书，先计攸重。
我闻在昔，轻则寡谋。
殄民以幸，亦孔之忧。
述军旅第八。
九
日中而市，万民所资。
贾贸滞鬻，利析锱铢。
滞财役贫， 封君 低首。
逐末兼并，非国之厚。
述市易第九。
《数书九章·序》译文
周代 的 教育内容 有“六艺”（礼、乐、射、御、书、数），数学是其中之一。学者和官员们，历来重视、崇尚这门学问。为了应用，人们要 认识世界 的规律，因而产生了数学。数学具有广泛的应用性。从大的方面说，数学可以认识自然，理解人生；从小的方面说，数学可以经营事务，分类万物。难道容许将数学视为一门浅近的学问吗?
过去，历算家们用 筹算 推演，制定天文历法；发现自然规律，预测季节变化。用“髀”、“矩”测山高河深，用“ 圭表 ”量日影，以定时刻与节气。 宇宙 如此之大，尚且不能置于数学之外，那么，宇宙之中的各种各样的事物，难道能离开数学吗？
自从“河图”、“ 遁甲演义 ”，开创发现数学的奥秘；《 周易 》“ 八卦 ”、《 九章算术 》，在解决错综复杂问题时，显示了数学的精妙细微；“大衍术”在历法计算，以及解诸多问题中的应用，使数学的精微作用发挥到了极大。数学对于认识人世间各类事物的变化，无所不包。自然界中物质运动的聚散，也不能隐匿于数学之外。古代的圣贤学者很高明，了解许多数学的精微之处，留下的文学却十分简略，使一般人难于明白，难于领悟其中之奥秘。探究其原因，是因为“数学”与“哲学”同样深奥，本质一致，并不是两回事。
汉代 离上古并不很远，但有 张苍 、 许商 、乘马延年、 耿寿昌 、 郑兴 、 郑众 、 张衡 、 刘洪 等一批数学家和历算家，他们之中，有的精通天文历法，将算理算法传于后世；有的长于用筹运算，计算结果当时就能得到检验。
后世的一些学者，把自己看得太高，鄙视前人的成就，不虚心学习，不继承发展，使数学这门学问中，有的内容几乎断绝失传。只有懂历法的历算家们，会乘除运算，但对高深的“开方术”、“大衍术”，就不通晓了。他们认为，官府的会计事务，只需少数人懂得加减计算就行了。数学家的地位和作用，而今，从不被人们所认识，当权人士对此状况，也听之任之。算学家只当作工具使用，数学这门学问遭到鄙视，也就理所当然了。
可悲啊！这就犹如制造乐器的人，仅仅只能拨弄出乐器的声音，就说这是与天下的知音者一道，奏出了美妙悦耳的乐章，难道能够这样说吗?
当今数学之书，计有三十余家。 天象 历法的计算方法，称之为“ 缀术 ”（“逼近之术”）；应用于占卜术中的计算有“太乙、六壬、遁甲”，称之为“三式”，这些都统称为“内算”，它们的算法是保密的，内传而不外传。《 九章算术 》所载的内容，就是《 周礼 》中的“ 九数 ”（《九章算术》的九章是：方田、 玉蜀黍属 、衰分、少广、商功、均输、盈不足、 方程 、勾股）；有关测量方位、地形之高、深、远、近的方法，称为“直术”，这些都统称为“外算”，它们的算法是公开的。“外算”是相对于“内算”而言的。“外算”与“内算”在应用上是彼此相通的，不应该视为两种截然不同的算法。
唯独“大衍术”，没有载于《九章算术》之中。没有见到有人，能将“大衍术”的算法程序推演出来。历算家在制定历法时，应用“大衍术”进行计算的颇多，如果以为它是“方程术”，那就谬误了。
宇宙 人世间的事情太多了，古代的人为解决某一问题，先进行策划，再确定方法程序，然后按程序实施行动。他们仰观天文，俯察地理，应用感官，应用直觉，谨慎地采用各种方法。为了让他们取得的成果不致被埋没，便使用文字将这些成果记载下来，一代一代流传后世。
后人在做事时，往往从头开始，很少考虑前人已有的成果，渐渐地在解决自然和人事的诸多问题时，就混乱不堪，缺少根据。我们为什么不可以对前人的成果，多多研究一番呢?
九韶愚昧，才疏识陋，但对学习“六艺”，却不曾偷闲。我在青少年时代曾随父亲到过 首都 （ 杭州市 ， 南宋 京城，今 杭州市 ），因此有机会访问国家天文台的历算家，向他们学习历算。此外，我还从隐居的学者那里学习数学。那时，元人军队入侵 四川省 ，长年路途阻塞，自己不得不长期处于战乱之中。尝尽艰险，历经忧患，就这样辗转渡过了十年光阴，使人心力枯竭，元气失落。
但我坚信，世间万物都与数学相关。于是，我很有兴趣地钻在数学之中，向学者、能人求教，深入探索数学之精微，初步取得一些成果。对于数学的大的方面，认识自然，理解人生，我并没有什么发现；但在数学的小的方面，对于经营事务，分类万物，却有所得，我尝试以问答形式，拟出若干应用问题。历经多年，积累渐增，我怕一旦丢失甚为可惜，于是就取八十一个问题，分为九类，写出解题方法及运算程序，有的问题还在其中作图以示之。
我的这些成果，或许可供博学多识的学人闲暇之时品赏，这便达到了本书的目的，我也心满意足了。我原本要把数学提升到哲理（道）的高度，实在难以做到。如果有人说：这些数学成果，仅仅不过是历算学家们流传下来的东西，不能满足社会广泛的实际需要。我相信，这也不会使本书黯然失色。
诗九首 译
南宋 淳祐 七年（公元1247年）九月 鲁群 秦九韶 序且附诗九首：
一
巍巍昆仑，气势磅礴，
世界本原，在于数学。
圣人发现推算历法的大衍术，
大衍微妙之处源于《 周易 》。取 奇数 的竹棍进行运演，
一分为二，舍去模的 倍数 。
用“大衍术”，解出未知数，
要深入探索奥秘，方知原由。数学这门学问的发生发展，
要依靠实际应用作出判断。
我这里著有《数书九章》，
首先就记载大衍术之原理。历算家虽然知道如何计算，
却不知这些算法之所以然。
我尝试作出解释，让人明白，
姑且看一看由特殊推广到一般。此章称为“大衍”，列为第一。
二
七大 行星 ，苍穹回旋，
世间诸事，变化多端。
用“ 缀术 ”逼近天体运动，
白天日影测，夜里星象观。历法用久了，误差就增大，
历算家就得改革旧历。
如果不实际去观测 天体 ，
沿袭旧的模式绝对无益。平原山川的农民耕种收获，
全靠大自然的风调雨顺。
阳光雨露，庄稼滋生，
雨水淋淋，雪水润润。农业官员忧心着气象天文，
下了多少雨?用器皿测量。
积满了水再换上一个器皿，
有时测之忧，有时测之喜。此章称为“天时”，列为第二。
三
百姓虽小，当放首位，
审时度势，以观世界。
苍老的妇女生活有保障，
这就是施行 仁政 之所在。历史一朝朝，人口一代代，
开垦的土地，一天天增多。
需要量度田亩，整治赋税，
重要的是精确进行测量统计。田地形状，方圆各异，
有斜、有正、有高、有低。
测量技术，内容精深，
潜心研究 ，方能辨明。测量之时，差之毫厘，
最后结果，谬之千里。
于公于私，皆是大弊，
征收赋税理当仔细又仔细。此章称为“田域”，列为第三。
四
山之不高，莫称高山，
水之不深，莫称大川。
大禹治水时，测定山川，
使用的矩尺才得以后传。智慧的创造，巧妙的论述，
用“重差术”进行测算。
求解之法，详尽而又周全，
测量的对象总是变化多端。又高、又深、又广、又远，
进行测量决不是容易简单。
有时是形势险要，进之不去，
有时是敌方营垒，不能着边。要求出未知数，怎么办?
先后两次用“表”测量。
用两次测量之差进行计算，
远离其境也可知高深广远。此章称为“测望”，列为第四。
五
国家规定，征收赋税，
民间 百事 ，正待兴办。
要依据田亩人口的多少，
取之有度必须进行测算。徭役虽然可以不免，
但应事先商量和计算。
应用比例分配要恰当，
赋税徭役要均匀承担。 汉代 距古代并不太远，
他们按田亩比例收税。
协调均衡收的谷与钱，
用以抵御灾害，防洪抗旱。当官的要施仁政，为民着想，
设身处地，犹如自己挨饿受灾。
如果赋税徭役分配不均，
难道能让人心安理得吗?将此章称“赋役”，列为第五。
六
纳粮上税，要看等级，
粮食入库，要看时节。
一粒粒粟，一寸寸丝，
都是男男女女的劳动所得。官府要向人民征粮收税，
后世的腐败之风频频发生。
达官贵人相互攀缘，欺榨百姓，
这些大小贪官污吏，用尽心机。我曾听说治理财政，
理当犹如智者治水。
正本清源，有条不乱，
治标治本，消除隐患。那些愚蠢贪官视而不见，
人民悲惨，还用刑不断。
这是离开理智愈来愈远，
为官不仁啊！可叹可叹！此章称为“ 钱谷 ”，列为第六。
七
如此房屋，如此城墙，
国家栋梁， 社会保障 。
百姓居住的地方，
财富聚散的市场。城市建筑作用巨大，
一定要制定好规划。
如果策划与营造，不合章法，
这是采纳了 子西 的建议。
汉代 工匠设计天文观象台，
刘恒 也担忧造价太昂贵。唯有武力才能争夺战功，
唯有节俭才能生财积德。
国家太平，家庭才有安全，
而今我们从哪里取得规范?此章称为“营建”，列为第七章。
八
自然界有金木水土火，
金属兵器，非有不可。
士兵不训练就去打仗，
这是上级的严重过错。威威阵容，严严步履，
应以鹅鹳行列为楷模。
军营布阵，当有规矩，
这是将军们的职责。军队打仗要取得胜利，
依靠官兵的智、仁、勇。
夜读兵书，重在领悟，
首先就要讲究谋略。我听说在过去的战例中，
轻敌，就会缺智寡谋，
侥幸，就会失败害民，
这不是一孔之见的担忧。此章称为“军旅”，列为第八。
九
太阳 东升，市场热闹，
万民生计，买卖依靠。
商人贸易才能积累财富，
一分一毫他们都会计较。为富不仁者奴役贫民百姓，
封疆大吏 们却要点头称好。
舍本求末，兼并财富，
这并非合理的治国之道。此章称为“市易”，列为第九。