空集（英文：empty set）是指不含任何元素的集合 ，符号为Ø或{ }。
莱布尼茨（英文：Gottfried Wilhelm Leibniz）在提出单子论时，区分了整体统一体，并将如初始概念、单子、空集和单元集等称为统一体。 1854年，乔治·布尔（英文：George Boole）提出了空类（也称空集）的概念。 1873年，康托尔（英文：Cantor）提出集合论。 为解决第三次数学危机，1908年德国数学家策梅罗（Zermelo）创建了第一个集合论的公理体系，其中就包括空集公理。 1922年德国数学家弗兰克尔（Fraenkel）对以上公理进行改进，提出了“ZF公理”，空集公理被继承保留。
空集通常具有四个性质：空集是任意集合的子集；空集的唯一子集是空集本身；对 全集 的 补集 是空集；空集是唯一的，其唯一性由外延公理得出。空集是任何非空集合的真子集。Ø只有一个子集，没有真子集。{Ø}是一个非空集合，有两个子集，一个是Ø，一个是它本身。 集合的 交运算 、并运算、补运算等也适用于空集的运算。 与空集相关的概念有正则集、不 相交 的集合、集合的直和等。 空集也可以推广至空间集合论中。空集只能通过一种方式转变为拓扑空间，即通过定义空集为开集；这个空拓扑空间是有连续映射的拓扑空间的范畴的唯一初始对象。 空集在 计算机 科学 、逻辑学 和地理学 等领域中有广泛应用。如布尔用1表示全总集，用0表示空集，并将数的加法乘法运用于逻辑运算。
定义
不含任何元素的集合叫空集，符号为 ( 为 丹麦语 字母）。对于任意集合 A，都有∀A：Ø ⊆ A，即空集是任何集合的 子集 。
空集公理
存在一个不包含任何元素的集合，即存在一个集合 ，使得对于任何的
简史
集合的概念起源最早可以追溯到 古希腊 的 原子论 学派，他们将直线看作一些原子的排列。 戈特弗里德·莱布尼茨 在提出单子论时，区分了整体统一体，并将如初始概念、单子、空集和单元集等称为统一体。 1854年，布尔在《思维规律的研究：逻辑与概率数学理论的基础》中提出了空类（也称空集）的概念，空类中没有任何事物，用数字0——正在讨论的事物的0%——表示。
1873年， 格奥尔格·康托尔 证明了实数集是不可数的，并在1874年发表了包括 对角线 方法的论文《论所有实代数数Z的一个性质》。 1903年， 英国 数学家 伯特兰·阿瑟·威廉·罗素 （Russell）提出的 悖论 直指朴素 集合论 ，引发了数学危机，直到1908年 德国 数学家策梅罗（Zermelo）创建了第一个集合论的公理体系，其中就包括 空集公理 。 1922年德国数学家弗兰克尔（Fraenkel）对以上公理进行改进，提出了“ZF公理”，空集公理被继承保留。
性质
空集具有如下性质：
基本运算
集合具有 交运算 、并运算、补运算等运算，空集在集合的运算中具有特殊意义。
交运算
对于任意集合 ， .
并运算
对于任意集合 A，空集和 A 的并集为 A：∀A：A ∪ Ø = A。
补运算
对于 全集 ， .
减运算
对于任意集合 ，有
对称差
对于任意集合 有，
叉运算
对于任意集合 ， .
相关概念
集合
集合（set）简称集，是一个不加定义的原始概念。集合是将一些对象放在一起作为一个整体来考虑，组成集合的对象称为这个集合的元素或简称元。若 是集合 的元素，则称 属于 ，记为 。若 不是 的元素，记为 （也可以用 表示）。当某一集合 的元素为 ...时，可写 ，称集合 有元素（对象） ...聚合而成。
子集
子集（subset）， 集合论 的基本概念之一。指两个具有包含关系的集合中的被包含者。对于集合 与 ，若 中的每个元素都是 的元素，则称 是 的子集，记为 或 。读作“ 含于 ”或“ 包含 ”。 是 的子集可用符号表述为 或
空集是任何集合的 子集 。
全集
全集 （universal set）亦称通用集、 宇宙 集、万有集、个体域或 论域 。 集合论 的基本概念之一。它包含所讨论的问题中涉及的所有集合。在研究某一特定理论时，人们关心的往往不是一切可能的集合，而仅仅是某个确定的集合的所有子集合。当事先给定一个集合 ， 并且约定只限于讨论 的元素或子集时，人们就把 称为该理论的论域或全集。全集常用字母 ， ， 等表示。取 作全集可用符号表述为 。
补集
补集（complementary set）亦称绝对 余集 。 集合论 的基本概念之一。全集 与集 的差集 称为 的补集。常记为 （或 .可用符号表述为： ）. 的 补集 也就是 相对于 全集 的 余集 。
正则集
正则集（regular set）， 集合论 的一个重要概念。它是为避免出现 悖论 的奇特集合而引进的。集合 是正则的，如果存在 的元素 ，使得 和 没有公元素，用符号表示为 .
不相交的集合
不相交的集合（disjoint sets），两个特殊相关的集合。指两个集合没有公共元素。对于两个集合 与 ，如果 ，则称 与 不相交，这一概念可以推广到多个集合的情况。设 是一个集合族， 对任何 成立，则称 是互不相交的集合族（两两不相交的 集族 ）。
集合的直和
集合的直和（direct sum of sets），并的一种特殊情况，即在满足条件 下的集合 之并，若集合 与集合 不 相交 ，且有 ，则 为其 子集 与 的直和。记为 .可用符号表述为
或
集合的直和的概念可以推广到一般的情况：设 为标号集， 为 集族 ， 是 到 的一一对应，且 ，如果 时总有 ，则称广义 并集 为集族 的广义直和，记为 .
推广
公理化集合论
在公 物理化学 集合论中，有 空集公理 ：存在一个没有元素的集合。这条公理可形式化为 。这条公理肯定了不含元素的集合是存在的。由 外延公理 还可推出：空集只有一个。利用 分离公理 ，可以断言空类 为集合。
空间集合论
空间集合的维度： 一个空间集合 的维度记为 ，定义为该集合中空间目标的最大维度。
即
则根据上式，可知下图(a)(b)对应的空间集合的维度分别为 和 由于 只能表达其中某一空间目标的维度，因此，上述公式仅是对空间元素维度的一种粗略表达。例如，当空间集合 是由点、线或面组合而成, 只能表达其中空间元素的最高维度。特别地，当 为空集时，则
范畴论
在集合范畴中，若A为集合，则恰好存在从空集到A的空函数，因此空集是初始对象，任何 单元素集合 都是终结对象。因此集合范畴有唯一的初始对象，但有很多终结对象。单元素含 幺半群 在含幺半群范畴中既是初始的又是终结的。在一个半序集合确定的范畴中，该半序集合的绝对极小值是一个初始对象，绝对极大值是一个终结对象。由于整数集中没有最大值也无最小值，因此在整数和通常的序确定的范畴中，既无初始对象也无终结对象。
应用
计算机科学
布尔代数
布尔抛弃了 传统逻辑 中的 等形式，而用 等表示类，用 表示“从 中选出 ”，即求 与 的公共元素，现在称为“ 与 的 交集 ”，当 与 无公共元素时，用 表示， 与 的 并集 。又用1表示全总集，用0表示空集，用 表示 的 补集 。对于 和 而言，可换率、 结合律 是成立的。布尔注意到，如果在数中只限于0及1，则上述规律 对数 的加法乘法也是成立的。布尔认为逻辑中的运算可以和数学一样处理，提出了 布尔代数 。 布尔代数 在现代科技中广泛运用可直接应用于开关理论和逻辑电路设计、 密码学 和 计算机 理论科学等。
数据结构
图（Graph）是一种 数据结构 。在图结构中，节点之间的关系可以是任意的，图中任意两个数据元素之间都可能相关。图 由两个集合 和 组成，记为 ，其中 是顶点的有穷非空集合，E是 中顶点偶对的有穷集合，这些顶点偶对称为边。 和 通常分别表示图 的顶点集合和边集合， 可以为空集。若 为空，则图 只有顶点而没有边。图的应用极为广泛，已渗入诸如物理、 化学 、电信工程、 计算机科学 以及数学等其他分支中。
算法设计
在算法设计中，可能将空集作为算法设计的开头或结尾。如在设计 动车组 运用方案网络时，利用禁忌—蚂蚁算法对网络进行求解，当访问的节点为空集时，一组可行解即构造完成。 而在 贪心算法 中，以一个空集合作为初始的解集合,然后在剩下的所有其他候选点中选择一个具有最大满足能力的候选点加入到原来的候选集合中,如此反复,直至全部需求得到满足为止。
逻辑学
虚概念的外延
现代逻辑兴起后，基于对空类、 自然数 的定义和空集的界定而产生了虚概念。虚概念即现实世界不存在其反映的对象的概念。对于实概念而言，其外延即“由具有这个概念所反映的特有属性的那些事物所组成的类”，对于虚概念来说将其外延即为空集。
命题的表达
空集可以用于阐释命题的范围。从对应 欧拉图 的集合运 算表示法可以看出，全称肯定命题、全称否定命题、特称肯定 命题要求主、谓项都必须是非空集，而特称否定命题要求主项 是非空集，而谓项则可以是空集。
地理学
湖泊平面形态的变化主要受到气候变化、泥沙淤积和河流侵蚀的影响。其中，整体退缩和整体扩张是受气候变化影响的主要类型。而局部退缩、局部扩张和局部边界凌乱变化是主要由泥沙淤积引起的变化类型。人类活动对湖泊平面形态的影响主要表现为整体扩张、整体退缩和局部退缩。而河流侵蚀会导致整体退缩甚至整体消失。湖泊和河段的平面形态变化可以被看作是湖泊和河流平面形态变化的 子集 。整体消失可以被看作是整体退缩的极限状态，通常是由于严重干旱或河流侵蚀导致湖泊水体完全消失，可以被视为是空集。
经济学
空集可以用来表示财富效应下的合作解。不同议价能力(权力)的分布状况将决定价格变化的分布，从而决定不同的 收入分配 的分布，并最终反映在积分路径和加总结果(效率)的不同，从而说明了在宏观分析中，财富收入效应的重要地位决定了权力分析的必要性和重要性。如果考虑到不同收入分配产生的福利效应即货币 边际效用 的变化以及效用感受能力的变化，在处理 外部性 问题的交易谈判中，合作解很可能是空集。
例如在外部性事件中，A的活动对B造成120单位的效用损失。当B有权利自由活动时，则A要坚持其活动必须补偿B以120单位的效用。但是补偿一定要表现为实物或货币，100美元对A和B的 基数效用 不同，同时对于A和B在不同状态时也不同，当A富有时，100相当于120个效用单位，当A贫困时则相当150个单位效用。因此，在不同权利初始配置下，补偿大小不一致并且A和B对补偿的实物效用大小也存在分歧(即一种没有策略行为的分歧)，合作解也就会是空集。
物理学
空集可以用来描述物理真空源的 兼容性 。物理实在的真空理应由物理基元的 零点能量 所定义。由于 夸克 是物质基元，所以可定义 是一种物理真空元。它是任何夸克 蜕变 为 基态 所释放的最低能量元。同时由于 是最低能态的自由夸克，不可能再 衰变 。所以， 和 是两种物理真空元，它们构成了物理真空。这两种真空元具有互补性，因为由定义式得到的 不是差集，而是 补集 ，即 为 关于 的补集，所以，由 公式有: 和 两者是兼容的，不存在交合。 是 零点 费米子 ，而 是零点 玻色子 ，共同构成零点 真空场 。