约翰尼斯·开普勒 定律(也可译为克卜勒定律）：也统称“开普勒三定律”，也叫“ 行星 运动定律”，是指 行星 在 宇宙 空间绕 太阳 公转 所遵循的定律。由于是 德国 天文学家 开普勒 根据 丹麦 天文学家 第谷·布拉赫 等人的观测资料和星表，通过他本人的观测和分析后，于1609～1619年先后归纳提出的，故行星运动定律即指开普勒三定律。
简介
开普勒定律是开普勒发现的关于行星运动的定律。他于1609年在他出版的《新天文学》上发表了关于行星运动的两条定律，又于1618年，发现了第三条定律。
约翰尼斯·开普勒 很幸运地能够得到，著名的丹麦天文学家第谷·布拉赫所观察与收集的，非常精确的天文资料。大约于1605年，根据布拉赫的行星位置资料，开普勒发现 行星 的移动遵守三条相当简单的定律。
开普勒的定律给予 亚里士多德 派与 克罗狄斯·托勒密 派在天文学与物理学上极大的挑战。他主张地球是不断地移动的；行星轨道不是圆形的，而是椭圆形的；行星 公转 的速度不等恒。这些论点，大大地动摇了当时的天文学与物理学。经过了几乎一世纪披星戴月，废寝忘食的研究，物理学家终于能够用物理理论解释其中的道理。牛顿应用他的第二定律和万有 引力 定律，在数学上严格地证明了开普勒定律，也让人了解了其中的物理意义。
开普勒的三条 行星 运动定律改变了整个天文学，彻底摧毁了托勒密复杂的宇宙体系，完善并简化了哥白尼的 日心说 。
开普勒第一定律
开普勒第一定律，也称椭圆定律：每一个行星都沿各自的 椭圆轨道 环绕 太阳 ，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。
开普勒第二定律
开普勒第二定律，也称面积定律：在 相等 时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。
这一定律实际揭示了行星绕太阳 公转 的 角动量 守恒。用公式表示为
开普勒第三定律
开普勒第三定律，也称调和定律：各个行星绕太阳公转周期的平方和它们的椭圆轨道的 半长轴 的立方成正比。
由这一定律不难导出： 行星 与太阳之间的引力与半径的平方成反比。这是牛顿的 万有引力 定律的一个重要基础。
用公式表示为
这里，是行星公转轨道半长轴，是行星公转周期，是 常数 。
数学引导
开普勒定律是关于行星环绕 太阳 的运动，而牛顿定律更广义的是关于几个粒子因 万有 引力 相互吸引而产生的运动。在只有两个粒子，其中一个粒子超轻于另外一个粒子，这些特别状况下，轻的粒子会环绕重的粒子移动，就好似行星根据开普勒定律环绕太阳的移动。然而牛顿定律还容许其它解答， 行星 轨道可以呈 抛物线 运动或 双曲线 运动。这是开普勒定律无法预测到的。在一个粒子并不超轻于另外一个粒子的状况下，依照广义 二体问题 的解答，每一个粒子环绕它们的共同 质心 移动。这也是开普勒定律无法预测到的。
开普勒定律，或者是用几何语言，或者是用 方程 ，将 行星 的坐标及时间跟轨道参数相连结。 牛顿第二运动定律 是一个 微分方程 。开普勒定律的导引涉及解微分方程的艺术。我们会先导引开普勒第二定律，因为开普勒第一定律的导引必须建立于开普勒第二定律。
数学证明
开普勒第一定律的证明
设 太阳 与 行星 质量分别 M和m，取平面极作标系，行星位置用（r,α）来描述。如图行星位置 矢量 是垂直单位矢量。
行星受太阳 引力 为F=-(GMm/r)r°
首先证明行星一定在同一平面内运动，有 牛顿 第二定律：F=m(dv/dt)
力矩 r×F=-(GMm/r)r°×r°=0.即r×(dv/dt)=0。
d(r×v)/dt=× v+ r×dv/dt=0。
积分，得r×v=h(常矢量)
上式表明， 行星 径矢 r始终与常矢量h 正交 ，故行星一定在同一平面内运动。
，取静止的 太阳 为极点o， 行星 位置为(r,α).在平面 极坐标中，行星运动有关 物理量 如下：
径行r=ｒ﹒r° ；速度ｖ=ｄr/ｄt=(ｄr/ｄt)﹒ｒ°+r﹒(dα/dt)﹒α°
ｒ°是径向单位 矢量 ，α°为径向垂直单位矢量。
ｄr/ｄt是径向速度分量， r﹒(dα/dt)是横向速度分量
速度大小满足v²=(ｄr/ｄt)²+( r﹒(dα/dt))²
动量 mv=m(ｄr/ｄt)+m( r﹒(dα/dt))
角动量 L=r×mv=m•r²(dα/dt)•(r°×α°)
得L=m•r ²•(dα/dt)
行星 所受的 太阳 引力 指向o点，故对o点 力矩 M=0，由角动量 定理 ，知角动量守恒。L为常量
E=½mv²-GMm/r
因 α/dt=L/mv² ｄr/ｄt= (L/mv²)(dr/dα)代入上式
(L²/ 平方米 r²r²)(dr/dα)²+ L²/m²r=2E/m+2GM/r
上边两式同乘m²/ L²，得
dr²/dα²r²r²+1/r²=2mE/L²+2Mm²/L²r
为了简化式子，令ρ=1/r.则dr/dα=-r²(dρ/dα)
于是 方程 变为（dr/dα）²+ρ²-2Gm²Mρ/L²=2mE/L²
上式对α求导。并注意E与L为常量。得
2（dr/dα）（d²r/dα²）+2ρ(dρ/dα)
开普勒第二定律的证明
开普勒第二定律是这么说的：在 相等 的时间内， 行星 与 恒星 的连线扫过的面积相等。O为 恒星 ，直线AC为 行星 不受 引力 时的轨迹。设行星从A到B、从B到C所用的时间间隔Δt相等，A处的时刻为t1，B为t2，C为t3。现在假设行星不受O的引力作用，那么这时扫过的面积SΔABO和SΔBCO相等（等底同高）。现在行星受到引力作用了，因为引力的方向时刻指向恒星，所以在从t1到t3这段时间里，行星所受的引力的方向的总效果应该沿着BO方向（这需要一点 向量 的知识）。因此，t3时刻 行星 的位置C’应该由两个向量相加而得到：向量AC+向量CC’（作CC’平行于BO，因此沿BO方向的向量等价于CC’）。这样，SΔBCO=SΔBC’O(同底等高)。因此，SΔBC’O=SΔABO。因为Δt是任取的，所以在 相等 的时间内，行星与恒星的连线扫过的面积相等。
开普勒第三定律的证明
在图中，A，B分别为 行星 运动的近日点和远日点，以Va和Vb分别表示行星在该点的速度，由于速度沿轨道 切线 方向，可见Va和Vb的方向均与此椭圆的长轴垂直，则行星在此两点时对应的面积速度分别为
SA=1/2rAvA=1/2(a-c)vA……………………………………{1}
sB=1/2rBvB=1/2(a+c)vB
根据开普勒第二定律，应有SA=SB，因此得
vB=[(a-c)/(a=c)]vA……………………………………………{2}
行星 运动的总 机械能 E等于其动能与 势能 之和，则当他经过近日点和远日点时，其机械能应分别为
EA=1/2m(vA)^2-(GMm)/rA=1/2m(vA)^2-(GMm)/(a-c)…………{3}
Eb=1/2m(Vb)^2-(GMm)/rB=1/2m(vB)^2-(GMm)/(a+c)
根据机械能守恒，应有EA=EB，故得
1/2m[（vA）^2-(vB)^2]= GMm [1/(a-c)-1/(a+c)]……………………{4}
由{2}{4}两式可解得
（vA）^2={(a+c)GM}/{a(a-c)}………………………………{5}
（vAB）^2={(a-c)GM}/{a(a+c)}
由{5}式和{1}式得面积速度为
SA=SB=S=（b/2）√[(GM)/a]
椭圆的面积为( 兀ab ) ,则得此 行星 运动周期为
T=（兀ab）/S=2兀a√a/(GM)…………………………{6}
将{6}式两边平方，便得
(a)^3/(T)^2=(GM)/4（兀）^2
发现过程
被称为“星子之王”的 第谷·布拉赫 在天体观测方面获得不少成就，死后留下20多年的观测资料和一份精密星表。他的助手 约翰尼斯·开普勒 利用了这些观测资料和星表，进行新星表编制。然而工作伊始便遇到了困难，按照正圆轨道来编制 火星 运行表一直行不通，火星这个“狡猾家伙”总不听指挥，老爱越轨。经过一次次分析计算，开普勒发现，如果火星轨道不是正圆，而是椭圆，那么矛盾不就烟消云散了吗。经过长期细致而复杂计算以后，他终于发现： 行星 在通过 太阳 的平面内沿 椭圆轨道 运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。这就是行星运动第一定律，又叫“轨道定律”。
当 开普勒 继续研究时，“诡谲多端”的火星又将他骗了。原来， 开普勒 和前人都把行星运动当作等速来研究的。他按照这一方法苦苦计算了1年，却仍得不到结果。后来他发现，在椭圆轨道上运行的行星速度不是 常数 ，而是在 相等 时间内，行星与太阳的联线所扫过的面积相等。这就是 行星 运动第二定律，又叫“面积定律”。
约翰尼斯·开普勒 又经过9年努力，找到了 行星 运动第三定律： 太阳系 内所有行星公转周期的平方同行星轨道半长径的立方之比为一常数，这一定律也叫“调和定律”。
定律意义
首先，开普勒定律在科学思想上表现出无比勇敢的创造精神。远在 尼古拉·哥白尼 创立日心 宇宙 体系之前，许多学者对于天动地静的观念就提出过不同见解。但对 天体 遵循完美的均匀 圆周运动 这一观念，从未有人敢怀疑。 开普勒 却毅然否定了它。这是个非常大胆的创见。哥白尼知道几个圆合并起来就可以产生椭圆，但他从来没有用椭圆来描述过天体的轨道。正如开普勒所说，“哥白尼没有觉察到他伸手可得的财富”。
其次， 约翰尼斯·开普勒 定律彻底摧毁了 托勒密 的本轮系，把哥白尼体系从本轮的 梏下解放出来，为它带来充分的完整和严谨。 尼古拉·哥白尼 抛弃古希腊人的一个先入之见，即天与地的本质差别，获得一个简单得多的体系。但它仍须用三十几个 圆周 来解释 天体 的表观运动。 开普勒 却找到最简单的世界体系，只用七个椭圆说就全部解决了。从此，不须再借助任何本轮和偏心圆就能简单而精确地推算 行星 的运动。
第三，开普勒定律使人们对行星运动的认识得到明晰概念。它证明行星世界是一个匀称的（即 约翰尼斯·开普勒 所说的“和谐”）系统。这个系统的中心天体是 太阳 ，受来自太阳的某种统一力量所支配。太阳位于每个行星轨道的焦点之一。行星 公转 周期决定于各个行星与太阳的距离，与质量无关。而在 尼古拉·哥白尼 体系中，太阳虽然居于 宇宙 “中心”，却并不扮演这个角色，因为没有一个 行星 的轨道中心是同太阳相重合的。
由于利用前人进行的科学实验和记录下来的数据而作出科学发现，在科学史上是不少的。但像 行星 运动定律的发现那样，从 第谷·布拉赫 的20余年辛勤观测到 约翰尼斯·开普勒 长期的精心推算，道路如此艰难，成果如此辉煌的科学合作，则是罕见的。这一切都是在没有望远镜的条件下得到的！
定律
1601年，第谷逝世。两天之后，约翰·开普勒被委任成为他的继任者，作为皇家数学家负责完成第谷未完成的工作，开始编制鲁道夫星表。但开普勒的兴趣和注意力却更多的放在改进和完善 尼古拉·哥白尼 的 日心说 上，在探讨行星轨道性质的研究上。他发现第谷的观测数据，与哥白尼体系、 克罗狄斯·托勒密 体系都不符合。他决心寻找这种不一致的原因和 行星 运行的真实轨道。
最初的研究从观测与理论差异突出的 火星 着手。他运用传统的匀速 圆周运动 加偏心圆来计算，均遭到失败。经过长达4年近70次各种行星轨道形状设计方案的计算， 约翰尼斯·开普勒 认识到哥白尼体系的匀速圆周运动和偏心圆的轨道模式与火星的实际运动轨道不符。于是他大胆的抛弃了统治人类思想达2000年之久的“匀速圆周运动”偏见，尝试用别的几何曲线来表示火星轨道的形状。他认为行星运动轨道的焦点应该在产生 引力 中心的 太阳 上，并进而断定火星运动的 切向速度 不是匀速的，近太阳时快些，远太阳时慢些并得出结论：太阳至火星的直径在一天内扫过的面积是 相等 的。
开普勒把这结论推广到其他行星上，结果也是与观测数据相符。就这样，他首先得到了行星运行的等面积定律。随后他发现火星运行的轨道不是正圆，而是焦点位于太阳上的椭圆，他把这结论应用于其他行星也是适用的。于是他又得到了行星运行的 椭圆轨道 定律。这两条定律发表在他1609年出版的《新天文学》一书上。但他对自已取得的成就还不满足。他渴望找到一种能适合所有行星的总体模式，把各行星联系在一起。他坚信存在着一个把全体行星完整地联系在一起的简单法则。
在这个信念鼓舞下， 约翰尼斯·开普勒 忍受着个人在家庭方面遭受的巨大不幸，在很少有人了解和支持的困难条件下，经过九年的反复计算和假设，终于在1618年找到在大量观测数据后面隐匿的数的和谐性： 行星 公转 周期的平方与它们到 太阳 的平均距离的立方成正比。这就是周期定律。1619年，他在《宇宙的和谐》一书中介绍了第三定律，他情不自禁地写道："认识到这一真理，这是超出我的最美好的期望的。大局已定，这本书是写出来了，可能当代有人阅读，也可能是供后人阅读的。它很可能要等一个世纪才有信奉者一样，这一点我不管了。"
开普勒的三定律是天文学的又一次革命，它彻底摧毁了 克罗狄斯·托勒密 繁杂的本轮 宇宙 体系，完善和简化了 尼古拉·哥白尼 的日心宇宙体系。 约翰尼斯·开普勒 对天文学最大的贡献在于他试图建立 天体 动力学，从物理基础上解释 太阳系 结构的动力学原因。虽然他提出有关太阳发出的磁力驱使 行星 作轨道运动的观点是错误的。但它对后人寻找出太阳系结构的奥秘具有重大的启发意义，为经典力学的建立、牛顿的万有引力定律的发现，都作出重要的提示。
行星轨道
太阳是宇宙的中心， 地球 和其他行星一样绕太阳 公转 ，16世纪天文学家哥白尼以其大胆的洞察力，提出了太阳系这一引领时代的全新理论，从而带来了一场科技革命。但是直到半个世纪后， 德国 数学家 开普勒 利用 丹麦 天文学家布 第谷·布拉赫 提供的观察数据，才绘制出了第一张精确的 太阳系 地图。开普勒的辛劳巩固了 哥白尼 的理论。他孤军奋战，终于用 第谷·布拉赫 的观察数据，准确阐述了 行星 的运动。在有生之年，他的成就没有得到承认，但他的洞察力仍然是现代 宇宙 理论的基础。
适用范围
开普勒第二定律
开普勒定律适用于宇宙中一切绕心的 天体 运动。在宏观低速天体运动领域具有普遍意义。对于高速的天体运动，开普勒定律提供了其回归低速状态的 方程 。
也就是说，开普勒第二定律及其引出的推论，不仅适用绕 太阳 运转的所有行星，也适用于以行星为中心的 卫星 ，还适用于单颗行星或卫星沿 椭圆轨道 运行的情况。
仅适用于宏观低速运动的天体。提出的时候并没有给出严格的证明，但是为后来许多定律的证明奠定了基础。
开普勒第三定律
开普勒定律是一个普适定律，适用于一切 二体问题 。开普勒定律不仅适用于 太阳系 ，他对具有中心 天体 的 引力 系统（如 行星 - 卫星 系统）和 双星系统 都成立。围绕同一个中心 天体 运动的几个天体，它们轨道半径三次方与周期的平方的比值（R^3/T^2）都 相等 ，为（GM/4π^2），为中心天体质量。这个比值是一个与 行星 无关的常量，只与 中心体 质量有关，那么M相同是这个比值相同。