函数y=f(x)当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如， 自由落体 的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。对于这种现象，我们说因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角 坐标系 中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。
定义
对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。
设函数 在点 的某个 邻域 内有定义，如果有 ，则称函数在点 处连续，且称 为函数的的连续点。
设函数在区间 内有定义，如果 在 的左极限存在且等于 ，即 ，那么就称函数在点 左连续。
设函数在区间 内有定义，如果 在 处右极限存在且等于 ，即： ，那么就称函数 在点 右连续。
一个函数在开区间 内每点连续，则为在 连续，若又在 点右连续， 点左连续，则在闭区间 连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。
显然，由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。
等价定义
设变量x从它的一个初值 变到 终值 ，我们把 叫做x在 处的增量（或变化量）。注意增量 可正可负。
同样地，当自变量从 变化到 时，相应的函数值也发生变化。我们把 叫做函数值的增量（或变化量）。
再来分析连续的定义。若令 ，则 等价于 ，于是 等价于 。
而根据极限的定义， ，当 时，有
因此，得到函数连续的另一个定义： 这就是说，如果自变量在某一点处的增量趋于0时，对应函数值的增量也趋于0，就把f(x)称作是在该点处连续的。
注意：在 函数极限 的定义中曾经强调过，当 时f(x)有没有极限，与f(x)在点 处是否有定义并无关系。但由于现在函数在 处连续，则表示 必定存在，显然当 （即 ）时 。于是上述推导过程中可以取消 这个条件。
间断点
如果函数 在点 处不连续，则称 在点 处间断，并把 称为 的间断点。
间断有以下三种情况：
1.在点 处 没有定义，在 为发散状态（如图， 在 处无定义，并且在 处发散到无穷大）；
2.在 无定义，趋近与 时连续波动（如图， 在 处无定义，并且在0的某个去心邻域内无限振荡）；
3.虽然 有定义，且 存在，但不等于 （如图，分段函数在 处的左右极限都存在，但不等于f(0)）。
法则
定理 一 在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0）运算，结果仍是一个在该点连续的函数。
定理二 连续单调递增（递减）函数的 反函数 ，也连续单调递增（递减）。
定理三 连续函数的复合函数是连续的。
这些性质都可以从连续的定义以及极限的相关性质中得出。
应用
闭区间上的连续函数
闭区间上的连续函数具有一些重要的性质，是 数学分析 的基础，也是 实数 理论在函数中的直接体现。下面的性质都基于f(x)是[a,b]上的连续函数得出的结论。
有界性
闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。
所谓有界是指，存在一个 正数 M，使得对于任意 ，都有 。
反证法 ，假设f(x)在 上无上界，则对任意正数M，都存在一个 ，使 。
特别地，对于任意正整数n，都存在一个 ，使 。
依次取 得到一个数列 。显然， 是有界的，则根据致密性定理，存在一个收敛子列 。记 ，由 及 数列 极限的保 不等式 性可知， （即 ）。
又由归结原则和函数在点 的连续性可知， 另一方面，由 的选取方法可知， ，于是当 时， ，矛盾！
所以假设不成立，f(x)在 上必有上界。
同理可证f(x)在 上必有下界，从而f(x)在 上有界。
最值性
闭区间上的连续函数在该区间上一定能取得最大值和最小值。
所谓最大值是指， 上存在一个点 ，使得对任意 ，都有 ，则称 为 在 上的最大值。最小值可以同样作定义，只需把上面的 不等号 反向即可。
证明：利用确界原理：非空有上（下）界的点集必有上（下）确界。
由于已经证明了 在 上有界，因此由确界原理可知， 的 值域 必有上确界和下确界。
设 的上确界为M，则必存在 使
若不是这样，根据上界的定义，对任意 ，都有 。
令 ，由连续函数的 四则运算 法则可知g(x)在 上是连续函数，故g(x)在 上有上界，设为G。则 。整理该式子得 ，这与M是 的上确界相矛盾，因此存在 ，使 。由上确界的定义可知，M是f(x)的最大值。
同理可证f(x)有最小值。
介值性
若 ，且 。则对A、B之间的任意 实数 C，在开区间 上至少有一点c，使 。
这个性质又被称作 介值定理 ，其包含了两种特殊情况：
（1）零点定理。
也就是当f(x)在两端点处的函数值A、B异号时（此时有0在A和B之间），在开区间 上必存在至少一点ξ，使 。
（2）闭区间上的连续函数在该区间上必定取得最大值和最小值之间的一切数值。
也就是设f(x)在[a,b]上的最大值、最小值分别为 ，并且 。在闭区间 或 上使用 介值定理 即可。
证明：零点 定理 可以利用闭区间套定理：如果 是一个闭区间套，那么存在唯一 实数 ξ属于所有的闭区间。详细证法参考相应词条。
介值定理可以构造辅助函数来证明。
令 ，其中C是A和B之间的任一实数，则g(x)在 上连续。不妨设A<C<B，则g(a)=f(a)-C=A-C<0，g(b)=f(b)-C=B-C>0，即g(x)在两端点处的函数值异号。
根据零点定理，在开区间(a,b)上至少存在一点c，使g(c)=f(c)-C=0。 。
对于 的情况有完全相同的证法。
一致连续性
闭区间上的连续函数在该区间上 一致连续 。
所谓一致连续是指，对任意 （无论其多么小），总存在 正数 δ，当区间I上任意两个数 满足 时，有 ，就称f(x)在I上是一致连续的。
证明：利用有限覆盖 定理 ：如果H是闭区间 的一个无限开覆盖，那么能从H中选择有限个开区间来覆盖 。详细证法参考相应词条。
反函数连续性
如果函数f在其定义域D上严格单调且连续，那么其反函数f也在其定义域f(D)（即f的 值域 ）上严格单调且连续。
证明：严格单调函数必定有严格单调反函数，并且单调性相同（证法参考反函数词条），因此只要证明反函数也在其定义域上连续即可。
设f是定义在D上的严格单增的函数（严格单减同理）。作辅助函数 ，显然g(x)的反函数就是它本身。
由于g(x)在R上是连续的，因此它在D上也是连续的。
①若D是开区间，设x0是D上任意一点，由g(x)的连续性可知，对任意 ，存在 ，使得当 时， 。即 。
于是可取区间 上满足 的两点（前提是 落在D内），根据f的连续性可知开区间 内的所有x（包括x0）都满足 。
设 是 对应的值，由f的单调性可知 。
不妨设 ，（等于 同理），则当 ，即 时，有 。
根据上述分析，当 时，就有 。即对任意 ，存在δ’，当 时， 。这就证明了f在y0处连续。由于x0是任意的，因此y0也是任意的，因此f在f(D)上连续。
②若D是半开半闭区间，不妨设 ，则f在f(D')上连续，因此只要证f在f(a)处也连续即可得到f在D上连续。
∵g(x)在 处右连续
∴对任意 ，存在 ，使得当 时， 。
可取区间 上满足 的点（前提是x1落在D内），根据f的连续性可知开区间(a,x1)内的所有x（包括x0）都满足 。
设f(a)、y1、y0是a、x1、x0对应的值，由f的单调性可知 。
不妨设 ，（等于 同理），则当 时，有 。
据上述分析，当 时，就有 。即对任意 ，存在δ’，当 时， 。这就证明了f在f(a)处右连续。从而f在f(D)上连续。
同理可证若 时，f在f(D)上连续。
③若D是闭区间，则根据①和②，f在D的左右端点以及D的内部都连续，从而f在D上连续。
定理 得证。