四元数是对 复数 的扩展，实质上是 实数 、复数及 三维空间 向量 的扩充，包含一个实部和三个虚部。
一个复数表达式为a+bi。其中，a和b都是实数，i是单位 虚数 ，i2=-1。一个四元数表达式：q=q1+q2i+q3j+q4k，其中i2=j2=k2=-1，ij=k=−ji，jk=i=−kj，ki=j=−ki，{q1，q2，q3，q4}都是实数，表示四元数的四个组成元素。
四元数的加减运算与实数向量计算类似，但乘法运算的规律不同于纯实数，只具有 分配律 和 结合律 ，而不满足 交换律 。
概念
明确地说，四元数是 复数 的不可交换延伸。如把四元数的集合考虑成多维 实数 空间的话，四元数就代表著一个 四维空间 ，相对于复数为 二维空间 。
应用
四元数是除法环的一个例子。除了没有乘法的交换律外，除法环与场是相类的。特别地，乘法的 结合律 仍旧存在、非零元素仍有唯一的 逆元素 。
四元数形成一个在实数上的 四维 结合 代数 （事实上是除法代数），并包括复数，但不与复数组成结合代数。四元数（以及实数和复数）都只是有限维的实数结合除法代数。
四元数的不可交换性往往导致一些令人意外的结果，例如四元数的n-阶 多项式 能有多于n个不同的根。