正交群

正交群是数学中的一个重要概念，它在 几何学 、 群论 和物理学等领域中都有广泛的应用。正交群可以定义在不同的 数域 上，包括实数域、 复数 域和 有限域 。在实数域上，正交群和特殊正交群是 李群 ，具有重要的拓扑和 代数 性质。正交群的研究不仅涉及到 几何变换 的性质，还与线性代数、 代数拓扑 和数学物理等多个数学分支紧密相关。

定义与性质

正交群又称 正交变换 群，是欧氏平面内所有正交变换的集合构成的群。在数学上，数域F上的n阶正交群，记作O(n,F)，是F上的n×n 正交矩阵 在 矩阵乘法 下构成的群。它是 一般线性群 GL(n,F)的 子群 ，由所有满足$Q^TQ = QQ^T = I$的矩阵Q构成，其中$Q^T$是Q的转置，I是 单位矩阵 。实数域上的经典正交群通常记为O(n)。

正交群具有以下性质：

1. 恒等变换是正交变换。

2. 正交变换的逆变换是正交变换。

3. 两个 正交变换 的乘积仍然是正交变换。

特殊正交群

特殊正交群SO(n,F)是正交群O(n,F)的 正规子群 ，由所有 行列式 为1的 正交矩阵 组成。在特征不为2的 数域 上，特殊正交群在正交群中的指数是2，即正交群的每个元素要么属于特殊正交群，要么通过乘以-1变为特殊正交群的元素。

欧氏几何与正交群

欧氏几何是研究等价类里一切图形所共有的性质的几何分支，图形关于正交变换群下的不变性质所构成的命题系统就是欧氏 几何学 。正交群在欧氏几何中的作用体现在它能够将平面上所有的图形分类，凡合同的图形属于同一等价类。

实数域上的正交群

实数 域R上的正交群O(n,R)和特殊正交群SO(n,R)是n(n-1)/2维的实紧李群。O(n,R)有两个 连通 分支，SO(n,R)是包含 单位矩阵 的连通分支。O(n,R)是 欧几里得 群E(n)的 子群 ，由其中保持原点不动的等距组成。SO(n,R)是E+(n)的子群，由其中保持原点不动的等距组成。

保持原点的3维同构

保持R^3原点不动的 同构 ，组成群O(3,R)，能分成旋转和反射等类别。群SO(3,R)，视为3 维空间 的旋转，是科学和工程中最重要的群。

共形群

正交变换 也是共形变换，即保持角度不变的变换。R^n的线性共形映射构成的群记作CO(n)，由正交群和收缩的乘积给出。

复数域上正交群

复数域C上，O(n,C)和SO(n,C)是C上n(n-1)/2维的 李群 ，实维数是n(n-1)。O(n,C)有两个 连通 分支，SO(n,C)是包含恒同矩阵的分支。

有限群上的正交群

正交群也能定义在 有限域 F_q上，其中q是 质数 p的幂。在这样的域上定义正交群，偶数维时有两类：O^+(2n,q)和O^-(2n,q)； 奇数 维有一类：O(2n+1,q)。

旋量模

旋量模是一个从域F上正交群到域F的乘法群模去平方元素F*/F*^2的 同态 ，对实数域上的正交群是平凡的。

伽罗瓦上同调和正交群

代数 群的 伽罗瓦上同调 理论提供了对正交群更深入的理解，特别是与 二次型 理论的联系。

重要子群

在物理学中，特别是在Kaluza-Klein 紧化 领域，找出正交群的子群非常重要。例如，O(n)包含O(n-1)，O(2n)包含SU(n)和USp(n)，O(7)包含G_2等。

正交群O(n)也是一些 李群 的重要子群，如SU(n)、USp(2n)、G_2、F_4、E_6、E_7和E_8。群O(10)在 弦律 中非常重要，因为它是10维时空的 对称群 。